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行列式与矩阵

行列式和矩阵,在线性代数中,通过对一组线性形式的非齐次方程应用Cramer规则来求解线性方程组。行列式只计算方阵。如果矩阵的行列式为零,则称为奇异行列式如果它是一个,那么它被称为幺模. 为了使方程组有唯一的解矩阵的行列式必须是非奇异的,也就是说它的值必须非零在这篇文章中,让我们讨论行列式和矩阵的定义,不同的矩阵类型,性质,并举例说明。

目录:

矩阵定义

矩阵是数字的有序矩形数组,用于表示线性方程组。矩阵有行和列。我们还可以对矩阵进行数学运算,如矩阵的加法、减法、乘法。假设行数为m,列数为n,则矩阵表示为m×n矩阵。

矩阵定义

另外,请阅读:

矩阵类型

有不同类型的矩阵。让我们看看不同类型矩阵的一些例子

  • 零矩阵:\(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)
  • 单位矩阵:\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)
  • 对称矩阵:\(\begin{bmatrix}2&3&-1\\3&0&6\\-1&6&5\end{bmatrix}\)
  • 对角线矩阵:\(\begin{bmatrix}6&0&0\\0&9&0\\0&0&2\结束{bmatrix}\)
  • 上三角矩阵:\(\begin{bmatrix}6&-1&5\\0&4&2\\0&0&2\结束{bmatrix}\)
  • 下三角矩阵:\(\begin{bmatrix}6&0&0\\2&4&0\\8&-1&2\结束{bmatrix}\)

矩阵的逆

矩阵的逆通常是为方阵定义的。对于每一个m×n方阵,存在一个逆矩阵. 如果A是方阵,那么A-1且满足矩阵的逆性质:

AA-1=一个-1A=I,其中I是单位矩阵。

同样,这里的平方矩阵的行列式不应该等于零。

矩阵转置

矩阵的转置可以通过列的行来确定。如果A是矩阵,那么矩阵的转置用A表示T.

例如,假设一个3×3矩阵,比如a,然后a的转置,即aT 是由

\(A=\begin{bmatrix}6&2&1\\3&5&9\\7&4&8\结束{bmatrix}\)

\(A^{T}=\begin{bmatrix}6&3&7\\2&5&4\\1&9&8\结束{bmatrix}\)

 

如果给定的方阵是对称矩阵,则矩阵a应等于aT.

意思是A=AT.

行列式的定义

方阵的行列式可以用多种方式定义。

第一种也是最简单的方法是通过考虑顶行元素和相应的子元素来构造行列式。取第一行的第一个元素,乘以它的minor,然后减去第二个元素和它的minor的乘积。继续交替地对顶行的每个元素及其各自的次元素的乘积进行加减,直到考虑了顶行的所有元素。

例如,让我们考虑一个4×4矩阵a。

矩阵行列式

第二种求行列式的方法:

定义行列式的第二种方法是用矩阵的列来表示,即用列向量表示nxn矩阵。

把矩阵A的列向量看作A=[A1,一个2,一个,…一个n]其中任何元素aj是一个x大小的向量。

然后定义矩阵A的行列式

检测[a1+a2…. 文学士j+简历…a]=b det(A)+c det[A1+a2+…v…a]

检测[a1+a2…. jj+1型…一个]=–det[a1+a2+…一个j+1型j…一个]

Det(I)=1

其中标量用b和c表示,x大小的向量用v表示,x大小的单位矩阵用I表示。

从这些方程可以推断行列式是列的线性函数。此外,我们观察到行列式的符号可以通过交换相邻列的位置来互换。单位标量的单位矩阵由列的交替多线性函数映射。这个函数是矩阵的行列式。

检查: 3×3矩阵的行列式

行列式的性质

  • 如果我n是nxn阶的单位矩阵,则det(I)=1
  • 如果矩阵MT是矩阵M的转置,那么det(MT)=det(M)
  • 如果矩阵M-1是矩阵M的逆,则det(M-1)=\(\frac{1}{det(M)}\)=det(M)-1
  • 如果两个方阵M和N的大小相同,则det(MN)=det(M)det(N)
  • 如果矩阵M的大小为axa且C为常数,则det(CM)=Cdet(米)
  • 如果X,Y,Z是三个大小相等的半正定矩阵,那么下面的结果与推论det(X+Y)一样成立X,Y,Z的det(X)+det(Y)0 det(X+Y+Z)+det C探测(X+Y)+探测(Y+Z)
  • 在三角形矩阵中,行列式等于对角线元素的乘积。
  • 如果矩阵的所有元素都为零,那么矩阵的行列式为零。
  • 拉普拉斯公式与伴随矩阵

除了行列式的这些性质外,还有其他一些性质,例如

  • 反射特性
  • 全零属性
  • 比例性或重复性
  • 开关特性
  • Sum属性
  • 标量多重性
  • 因子特性
  • 三角形特性
  • 不变性
  • 余因子矩阵的行列式

行列式的拉普拉斯公式

矩阵的子项可以用矩阵的Laplace公式来表示。

如果矩阵Bxy公司矩阵A的次方是通过去掉x得到的还有y列,大小为

(j-1 x j-1),则矩阵A的行列式由

det(A)=\(\sum{y=1}^{j}(-1)^{x+y}A{x,y}B{x,y}y}\)

并且\((-1)^{x+y}B{x,y}\)被称为余因子。

将包含余因子的矩阵转置得到调整矩阵,并由以下等式给出:,

(调整(A))x、 是的=(-1)x+y轴Bx、 是的

类相关链接:

矩阵的行列式

在求解线性方程组和求矩阵的逆时,行列式起着重要作用。现在我们来讨论如何求2×2矩阵和3×3矩阵的行列式。如果A是矩阵,那么矩阵A的行列式一般用det(A)或| A |表示。

求2×2矩阵的行列式:

设一个2×2平方矩阵

\(A=\begin{bmatrix}A{11}&A{12}\\A{21}&A{22}\end{bmatrix}\),然后

|A |=\(\begin{vmatrix}A{11}&A{12}\\A{21}&A{22}\end{vmatrix}\)

\(| A |=A{11}A{22}-A{21}A{12}\)

求3×3矩阵的行列式

假设3×3矩阵,比如

\(A=\begin{bmatrix}A{11}&A{12}&A{13}\\A{21}&A{22}&A{23}\\A{31}&A{32}&A{33}\结束{bmatrix}\),然后

\(| A |=\begin{vmatrix}A{11}&A{12}&A{13}\\A{21}&A{22}&A{23}\\A{31}&A{32}&A{33}\结束{vmatrix}\)

\(1〈124; A〈124;一〈一〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈四〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈三〈一〈一〈一〈二〈一〈一〈一〉〉一〈一〉一〈一〉一〈一〉一〈一〈一〈三〈三{三{三{三{三{三{三A{13}\开始{bmatrix}A{21}&A{22}\\A{31}&A{32}\结束{bmatrix}\)

行列式和矩阵示例

例1:

求矩阵的行列式\(A=\begin{bmatrix}4&2\\3&2\ end{bmatrix}\)

解决方案:

给定:\(A=\begin{bmatrix}4&2\\3&2\结束{bmatrix}\)

矩阵A的行列式是

det(A)=| A |=8–6

|A |=2

例2

求矩阵的行列式\(a=\begin{bmatrix}2&3&1\\6&5&2\\1&4&7\ end{bmatrix}\)

解决方案:

给定:\(A=\begin{bmatrix}2&3&1\\6&5&2\\1&4&7\ end{bmatrix}\)

因此

\(| A |=2\begin{vmatrix}5&2\\4&7\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}6&2\\1&7\ end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}6&5\\1&4\ end{vmatrix}\)

|A |=2(35-8)–3(42-2)+1(24-5)

|A |=2(27)–3(40)+1(19)

|A |=54-120+19

|A |=73-120

|A |=-47

行列式和矩阵常见问题解答

定义矩阵

矩阵被定义为数字的矩形数组。数字集合按行和列排列

行列式是什么意思?

行列式定义为与方阵相关的标量值。如果X是矩阵,那么矩阵的行列式用| X |或det(X)表示。

提到不同类型的矩阵

不同类型的矩阵有:
方阵
对角矩阵
零矩阵
对称矩阵
单位矩阵
上三角矩阵
下三角矩阵

我们为什么要用行列式?

行列式用于求解线性方程组,也用于求矩阵的逆。

提到行列式的重要性质

行列式的性质是:
反射特性
三角形特性
全零属性
Sum属性
标量多重性
因子特性
比例性

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1条评论

  1. 这是非常有用的感谢拜祖团队。

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