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二次方程

什么是二次方程?

二次方程是f(x)=ax型一个变量的二次多项式方程2+bx+c其中a,b,c,R和a0它是二次方程的一般形式,其中“a”称为主导系数,“c”称为f(x)的绝对项。满足二次方程的x值是二次方程(α,β)的根。

二次方程总是有两个根。根的性质可以是真实的,也可以是虚构的。

一个二次多项式,当等于零时,就变成了一个二次方程。满足方程的x的值称为二次方程的根。

一般来源:斧头2+bx+c=0

示例:3倍2+x+5=0,-x2+7x+5=0,x2+x=0。

二次方程公式

二次方程的解或根由二次公式给出:

(α,β)=[-b±(二)22ac/4ac)]

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求解二次方程的公式

1二次方程的根:x=(-b±D) /2a,其中D=b24交流

2根的性质:

  • D>0,根是实的和不同的(不等的)
  • D=0,根为实且相等(重合)
  • D<0,根是虚数且不相等

三。根(α+iβ),(α-iβ)是彼此的共轭对。

4根的和与积:如果α和β是二次方程的根,则

  • S=α+β=-b/a=x系数/x系数2
  • P=αβ=c/a=x的常数项/系数2

5根形式的二次方程:x2–(α+β)x+(αβ)=0

6二次方程a12+b1x+c公司1=0和a22+b2x+c公司2=0有;

  • 一个公共根if(b1c2–b型2c1)/(三)12–c21)=(c)12–c21)/(一)1b2–一个2b1)
  • 如果a1/a2=b1/b2=c1/c2

7在二次方程ax中+bx+c=0或[(x+b/2a)2–D/4a2]

  • 如果a>0,最小值=4ac–b2/在x=-b/2a时为4a。
  • 如果a<0,最大值4ac–b2/在x=-b/2a时为4a。

8如果α,β,γ是三次方程ax的根+bx公司2+cx+d=0,则α+β+γ=-b/a,αβ+βγ+λα=c/a,αβγ=-d/a

9如果一个二次方程满足两个以上的数,即有两个以上的根或解,无论是实的还是复的,二次方程就成为一个恒等式(A,b,c=0)。

与二次方程式相关的主题:

二次方程根

满足给定二次方程的变量的值称为其根。换句话说,如果f(α)=0,x=α是二次方程f(x)的根。

方程f(x)=0的实根是曲线y=f(x)与x轴相交的点的x坐标。

  • 如果c=0,二次方程的一个根是零,另一个是-b/a
  • 如果b=c=0,两个根都是零
  • 如果a=c,则根是相互的

什么是区别?

术语(b)2–4ac)在二次公式中称为二次方程的判别式. 二次方程的判别式揭示了根的性质.

二次方程根的性质

如果判别值=0,即b2–4ac=0 二次方程的根相等,即α=β=-b/2a
如果判别值<0,即b2–4ac<0 二次方程将有虚根,即α=(p+iq)和β=(p–iq)。其中‘iq’是复数的虚部
如果判别式(D)的值大于0,即b2–4ac>0 二次方程将有实根
如果判别值大于0且D是一个完全平方 二次方程将有有理根
如果判别式(D)>0且D不是完全平方 二次方程将有无理根,即α=(p+q) β=(p-问)
如果判别式的值大于0,D是一个完全平方,a=1,b和c是整数 二次方程将有积分根

根的本质-视频课

如何确定二次方程根的性质?

(例如,求x–1的平方根表达式)。

解决方案:

给定的方程可以改写为,x2–(10+k)x+1+10k=0。

D=b2–4ac=100+k2+20k-40k=k2–20k+96=(k–10)2–4个

如果判别式的值大于0,则二次方程将有整数根,D为完全平方,a=1,b和c为整数。

i、 e.(k-10)2–D=4

因为判别式是一个完美的正方形。因此,只有当D=0和(k–10)时,R.H.S中两个完全平方的差才是42=4。

k–10=±2。因此,k=8和12。

例2:求k的值,使方程p/(x+r)+q/(x–r)=k/2x有两个相等的根。

解决方案:

给定的二次方程可以改写为:

[2p+2q–k]x轴2–2r[p–q]x+r2k=0

对于等根,判别式(D)=0,即b2–4ac=0

这里,a=[2p+2q-k],b=-2r[p-q],c=r2k

[-2r(p–q)]2-4[(2p+2q-k)(r)2k) ]=0

r2(p-q)2–右侧2k(2p+2q–k)=0

自r0,因此,(p–q)2–k(2p+2q–k)=0

k2–2(p+q)k+(p-q)2

k=2(p+q)±[4(p+q)2–4(p–q)]2/2=—(p+q)±第四季度

k值=(p+q)±2性能指标=(问)2

例3:当一个根为1/(2+5) 一。

解决方案:

如果系数是有理的,那么无理根出现在共轭对. 因此,如果一个根是α=1/(2+5) =5–2,则另一个根将为β=1/(2-5) =-5–2。

根α+β=-4和根的乘积αβ=-1之和。

因此,需要的方程是x2+4x–1=0。

例4:当一个根是(3–2i)时,用实系数形成一个二次方程。

解决方案:

由于复根总是成对出现,所以另一个根是3+2i。因此,通过求根的和和和积,就可以得到所需的二次方程。

根的和是

(3+2i)+(3-2i)=6。根的乘积为(3+2i)×(3-2i)=9-4i2=9+4=13。

因此,方程是x2–Sx+P=0

因此,x2–6x+13=0是所需的二次方程。

二次方程系数与根的关系

如果α和β是二次方程ax的根2+那么bx+c,

  • α+β=-b/a
  • αβ=c/a
  • α – β = ±[(α + β)2–4αβ]
  • |α + β| = D/| a|

a的根与系数的关系多项式方程将上述多项式代入即可得到如下结果。

  • α2β + β2α=αβ(α+β)=–bc/a2
  • α2+ αβ + β2= (α + β)2–αβ=(b2–交流)/a2
  • α2 + β2= (α – β)2–2αβ
  • α2 – β2= (α + β) (α – β)
  • α + β= (α + β)+3αβ(α+β)
  • α – β= (α – β)+3αβ(α–β)
  • (α/β)2+ (β/α)2= α4+ β42β2

例:如果二次方程x中的系数x2+bx+c=0取17代替13,其根分别为-2和-15。求原二次方程的根。

解决方案:

因为x的系数没有变化2因此,对于这两个方程,零点的乘积将保持不变。

因此,零的乘积(c)=-2×-15=30,

因为b的原值是13。

零之和=-b/a=-13。

因此,原始二次方程为:

2–(零和)x+(零积)=0

2+13x+30=0

(x+10)(x+3)=0

因此,原始二次方程的根是-3和-10。

公共根条件

具有公共根的二次方程

设β为二次方程a的公根(解)12+b级1x+c公司1还有一个22+b2x+c公司2. 这意味着1β+b1β+c1=0和a2β+b2β+c=0。

现在,解β2β我们会得到:

β2/(二)1c2–b型2c1)=-β/(a)1c2–一个2c1)=1/(a)1b2–一个2b1)[使用行列式方法]

因此,β=(b)1c2–b型2c1)/(一)1b2–一个2b1) . . . . . . . . . . . . . . . . (一)

并且,β=(a2c1–一个1c2)/(一)1b2–一个2b1) . . . . . . . . . . . . . . . . (二)

将方程(2)平方并将其与方程(1)相等,我们得到:

(一)1b2–一个2b1)/(二)1c2–b型2c1)=(a)2c1–一个1c2)2

因此,它是二次方程有一个公共根的必要条件。

如果二次方程的根都12+b1x+c公司1还有一个22+b2x+c公司2很常见:

1/a2=b1/b2c=c1/c2

如果α是一个重复根,也就是说,这两个根是α,方程f(x)=0的α,那么α将是导出方程的根

f'(x)=0,其中f'(x)=df/dx

如果α是f(x)=0和ψ(x)=0中的重复根,那么α是f'(x)=0和ɕ'(x)=0中的共同根。

如何求解具有公共根的二次方程?

例如:k值是多少,二次方程都是6x2–17x+12=0和3x2–2x+k=0将有一个公共根。

解决方案:

如果二次方程a的根之一12+b1x+c公司1还有一个22+b2x+c公司2那就很常见了:(a)1b2–一个2b1)(二)1c2–b型2c1)=(a)2c1–一个1c2)2. . . . . . . . . . . . . (一)

形成给定的二次方程,a1=6,b1=-17,摄氏度1=12,a2=3,b2=-2和c2=千

将这些值代入式(1)中,我们将得到:

[(6×-2)–(3×-17)]×[-17k–(-2×12)]=(3×12-6k)2

-663k+936=1296+36k2–432公里

36万2+231k+360=0

12公里2+125k+120=0

(4k+15)(3k+8)=0

因此,k的值为-154,-83。

例:求k的值,使二次方程x2–11x+k和x2–14x+2k有一个共同因素。

解决方案:

设(x–α)为二次方程x的公因子2–11x+k和x2–14x+2k然后x=α将满足给定的二次方程。

因此,α2–11α+k=0。(一)

还有,α2–14α+2k=0。(二)

在求解方程(1)和方程(2)时,我们将得到:

α2/(-22k+14k)=-α/2k–k=1/(-14+11)

因此,α=(-22k+14k)/-3=8/3。(三)

并且,α=(2k–k)/(-14+11)=k/3。(四)

关于等式(3)和方程(4)的等式:

8/3=(k/3)2

因此,k=24。

求解二次方程

求解二次方程有两种方法

  • 代数方法
  • 图解法

二次方程组的代数解法

一般形式:斧头2+bx+c=0;

2+bx/a+c/a=0

(x+b/2a)2=b2/4a级2–c/a公司

或者,(x+b/2a)2=(b)2–4ac)/4a2

或者,x+b/2a=±(b2–4交流)/2a

x=[-b±(二)2–4ac)]/2a

b2–4ac=判别(D)

  • α=(-b+D) /2安培
  • β=(-b-D) /2安培

α+β=-b/a,α.β=c/a

因此,二次方程可以写成,

2–(α+β)x+(α.β)=0。

求解可化为二次方程的技巧

  • 求解ax型方程组4+bx公司2+c=0,取x2=y
  • x.a+b.p(x)+c=0,取p(x)=y。
  • 求解a.p(x)+b/p(x)+c=0,将p(x)=y。
  • 求解a(x2+1/x2)+b(x+1/x)+c=0,取x+1/x=y,求a(x2+1/x2)+b(x–1/x)+c=0,x–1/x=y。
  • 求解ax型倒数方程4+bx公司+cx2+bx+a=0,a0,将方程除以d2y/dx型2得到(x)+1/x2)+b(x+1/x)+c=0,然后输入x+1/x=y。
  • 求解(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+k=0,其中a+b=c+d,将x2+(a+b)x=y
  • 解类型方程(ax+b)=cx+d或(斧头2+bx+c)=dx+e,两边成直角。
  • 解决(ax+b)±(cx+d)=e,将根式中的一个移到另一边,并使两边成直角。保留一边带有根号的表达式,另一边转移剩余的表达式。

二次方程的图解法

考虑一个二次方程ax2+bx+c=0,其中a,b,c是实数,a0表达式可以进一步改写为:

a[(x+b/2a)2+(D/4a)2)]

上面的二次方程表示抛物线其顶点位于P[-b/2a,-D/4a]且轴平行于y轴。

在二次方程中,“a”的值决定了二次方程的图形是向上凹(a>0)还是向下凹(a<0)。判别值(b2–4ac)确定二次方程的图形是否:

  • 在两个点(即b)与x轴相交2–4ac>0
  • 只要碰到x轴,也就是b2–4ac=0
  • 不得与x轴相交,即b2–4ac<0

绘制二次方程

二次方程的图解法

表示顶点在P且轴平行于y轴的抛物线的二次方程

情况1:当a>0和b时2–4ac>0
二次方程的图形将向上凹,并在α和β两点处与x轴相交,且α<β。二次方程将有两个实根(α和β),曲线始终位于x轴上方。

  • 对于区间内x的值,二次函数f(x)为正,即f(x)>0(-∞, α) (β, ∞)
  • 如果x=α或β,二次函数f(x)将等于零,即f(x)=0
  • 对于区间(α,β)中x的值,二次函数f(x)为负,即f(x)<0

情况2:当a>0和b时2–4ac=0

二次方程的图形将向上凹,并在点-b/2a处与x轴接触。二次方程将有两个相等的实根,即α=β。二次函数f(x)为正,即0f(x),xR。

情况3:当a>0和b时2–4ac<0
二次方程的图形将向上凹,并且不会与x轴相交。二次方程有虚根,曲线始终位于x轴上方。二次函数f(x)为正,即f(x)>0,xR。

情况4:当a<0和b时2–4ac>0

二次方程的图形将向下凹,并在α和β的两点与x轴相交,α<β。二次方程将有两个实根(α和β),曲线始终位于x轴下方。

  • 对于区间(α,β)中x的值,二次函数f(x)为正,即f(x)>0。
  • 如果x=α或β,二次函数f(x)将等于零,即f(x)=0
  • 在函数f(f)中,f的值为负(−∞, α) (β, ∞)

情况5:当a<0和b时2–4ac=0

二次方程的图形将向下凹,并将在点-b/2a与x轴接触。二次方程的实根相等,即α=β。二次函数f(x)为负,即f(x)0,xR。

情况6:当a<0和b时2–4ac<0

二次方程的图形将向下凹,并且不会与x轴相交。二次方程有虚根,曲线总是在x轴以下。二次函数f(x)为负,即f(x)<0,xR。

根的位置

根的位置

二次方程的范围

考虑一个二次表达式f(x)=ax2+bx+c,其中a0和a,b,c都是实的。二次表达式可以进一步改写为f(x)=x2+bax=约。

 

二次方程的范围

二次方程根所在的区间

案例1:如果,

  • b2–4ac=(D)0,
  • -b/2a>m,
  • f(m)>0。

案例2:如果,

  • b–4ac=(D)0,
  • -b/2a<m,
  • f(m)>0。

案例3:如果,

  • b–4ac=(D)0,
  • m1<-b/2a>m2,
  • f(m1)>0,
  • f(m2)>0。

案例4:如果一个二次方程(α,β)的一个根正好在给定的区间(m1,m2)上
案例5:如果f(m)<0,则给定的数“m”将位于二次方程α和β的根之间

案例6:如果,f(0)<0,二次方程α和β的根将有相反的符号。

案例7:如果,

  • b2–4ac=(D)0,
  • α+β=-b/a>0,
  • αβ=c/a>0。

例8:一个二次表达式α和β的根都是负的如果,

  • b2–4ac=(D)0,
  • 2α+β=-b/a<0,
  • 三。αβ=c/a<0。

如何求二次方程的值域?

例1:求k的范围,其中6位于二次方程x的根之间+2(k–3)x+9=0。

解决方案:

6将位于二次表达式f(x)=x的根之间+2(k–3)x+9如果,

f(6)<0

i、 e.36+2(k-3)。6+9<0,

=36+12k–36+9<0,

=k<-34

因此,给定二次方程根之间的k的范围为:

k(-∞, -34条)

例2:求二次方程4x的一个根的k值2–4(k–2)x+k–2=0位于(0,12)中。

解决方案:

正好是二次表达式4x的一个根2–4(k–2)x+k–2=0将位于给定间隔内,如果,

f(m1)。f(m2)<0

i、 e.f(0)。<0华氏度

或者,(k-2)[1-2(k-2)+k-2]<0,

或者,(k-2)(3-k)<0,

或者,(k–2)(k–3)>0。

因此,给定二次方程的一个根正好位于区间(0,12)内的k值:

k(-∞, (二)(三),∞)

例3。求二次方程x的根的k值2–(k–3)x+k=0大于2。

解决方案:

给定二次表达式f(x)=x的根2–(k–3)x+k大于2,如果,

条件1:-b/2a>2

i、 e.+(k-3)/2>2

因此,k>7。(一)

条件2:f(2)>0

i、 e.4–(k–3)2+k>0,

或者,4-2k+6+k>0。

因此,k<10。(二)

条件3:b2–4空调0

i、 e.(k-3)2–4千0,

或者,k2+10k+90,

或者,(k-9)(k-1)0

因此,k(-∞, 1][9,∞) . . . . . . . . . (三)

从方程(1),(2)和(3)中,给定二次表达式的根大于2:k的“k”范围[9,10)。

二次方程的最大值和最小值

二次方程的最小值和最大值

二次方程最小值和最大值的条件

为了求一个二次方程的最小值,我们需要了解这些方程在不同的“a”值下的图的性质。二次方程f(x)=ax的图2+bx+c分别向上凹(a>0)或向下凹(a<0)。

当图向上凹时,它的顶点决定了二次曲线的最小值功能当它向下凹时,它的顶点决定了二次函数f(x)的最大值。

如何求二次函数的最大值和最小值?

案例1:当a>0时,二次表达式的绝对范围由下式给出:

[-b型2–4ac/4a,∞) 或[-D/4a,∞)

案例2:当a<0时,二次方程的绝对范围由下式给出:

(-∞, -D/4a号文件]

同时,二次方程f(x)的最大值和最小值出现在x=-b/2a处。

如果给定的二次方程的形式为f(x)=a(x–h)2+m,那么‘m’(顶点)的值给出给定函数的最小值(当‘a’为负)或最大值(当‘a’为正时)。

限制域中的最大值和最小值

案例1:-b/2a号[米,牛]

f(x)=[最小值{f(m),f(n)},最大值{f(m),f(n)}]

案例2:-b/2a号[米,牛]

f(x)[最小值{f(m),f(n)–D/4a},最大值{f(m),f(n),-D/4a}]

例1:求二次方程-4(x-2)的最大值或最小值+2。

解决方案:

由于“a”的值为负,因此给定的二次方程将具有最大值。因此,二次方程-4(x-2)的最大值2+2等于2。

例2:求二次方程f(x)=x的最小值和最大值2–12倍+11。

解决方案:

由于a>0,二次表达式的最大值和最小值由下式给出:

[(-b)交流4a)/,∞) 或[-D/4a,∞)

因此,f(x)的最小值为:

-(144–44)/4,在x=-(-12/2)=-25,在x=6。

f(x)的最大值是无穷大。

因此,给定的二次方程的范围是[-25,∞).

例3:求方程(2x–5)/(2x)的最小值2+3倍+6倍)?

解决方案:

f(x)在x=-b/2a处具有最小值[因为a>0]

i、 e.在x=-3/4处。

二次方程f(x)=-D/4a=-(9-48)/8=39/8的最小值。

例4:求函数f(x)=(x+2)/(2x)的范围2+3x+6),如果x是真的。

解决方案:

设y=2x+3倍+6倍

2倍2y+3xy+6y=x+2

2倍2y+(3y–1)x+6y-2=x+2

现在,判别=(3y–1)2–4(2年)。(6年–2年)0[因为x是实的]

9年2+1–6岁–48岁2+16年0

39岁2–10年–1年0

39岁2–13岁+3岁–1岁0

13岁(3岁-1岁)+1岁(3岁-1岁)0

二次函数f(x)=(x+2)/(2x)的范围2+3x+6):是[-1/13,1/3]。

试试这个:

如果二次方程x的两个根+x(4–2k)+k2–3k–1=0小于3,然后求k值的范围。

答案:k (-∞,(四)。

二次多项式的笛卡尔符号规则

这是一个非常著名的规则,有助于了解多项式方程的根。该规则指出P的正实根数n(x) =0不能超过符号更改的次数。同样地,负根的数目不能超过P中符号变化的次数n(-x)。

例1:方程2x有多少个实根5+2倍4–11倍+9倍2–4x+2=0将有?

解决方案:

给定的方程有4个符号变化,因此它最多可以有4个正实根。现在对于f(-x),方程只有一个符号变化,即f(-x)=-x5+2倍4+x轴+x轴2+x+2=0。因此,方程只有一个负实根。

例2:二次方程x有多少个实根+3 | x |+2将有?

解决方案:

因为二次方程对f(x)和f(-x)都没有符号变化。因此,方程将没有实根。

二次方程的符号约定-ax2+bx+c=0

  • 当b=0,ac<0时,二次方程的根在量上相等,但符号相反
  • 如果a的符号=b的符号×c的符号,则数量较大的根为负
  • 如果a>0,c<0或a>0,c>0;二次方程的根将有相反的符号
  • 如果y=ax2+bx+c对于x、a>0和D<0的所有实际值都是正的
  • 如果y=ax2+对于x、a<0和D<0的所有实际值,bx+c均为负值

示例:对于“m”的什么值,二次表达式x2+2(m+1)x+9m–5=0只有负根。

解决方案:

这里a=1,b=2(m+1),c=9m-5

因此,D=4(m+1)2-4(9m-5)=4m2+28-24米。(一)

α+β=-2(m+1)和αβ=9m–5。(二)

现在,如果,b,二次表达式的根都是负的2–4ac=(D)0,α+β=ba<0,αβ=ca<0

因此,4米2+24–28米0[根据方程式(1)]

i、 电子显微镜2–7米+6米0

或者,(m-1)(m-6)0

因此,m1或m6。(三)

现在,α+β<0

i、 e.-2(m+1)<0[根据方程式(2)]

或者,m>-1。(四)

αβ<0

i、 e.9m–5<0

或者,m<59。(五)

由式(3)、(4)、(5)可知,给定的二次方程只有负根6

二元二次方程

二次方程ax的一般形式2+2hxy+by公司2+2gx+2fy+c可以分解为两个线性因子,如下所示:,

斧头2+2(hx+g)x+by2+2fy+c=0。(一)

利用上面方程中的二次公式我们得到,

x=[2(hy+g)±{4(hy+g)2–4a(由2+2fy+c)}]/2a

ax+hy+g=±(小时)2是的2+克2+2ghy–阿比2–2afy–ac)。(二)

此时,表达式(i)可以分解为两个线性因子,如果,

(小时)2–ab)是2+2(gh–af)y+g2–ac是一个完美的正方形和h2–ab>0

但是(h2–ab)是2+2(gh–af)y+g2–如果判别系数=0,则ac将是一个完美的正方形

i、 例如2h2+a2f2–2afgh–小时2g2+abg公司2+乙酰胆碱2–一个2bc=0和h2–ab>0

abc+2fgh–af公司2–背景2–中国2=0和h2–ab>0

这是必要条件。该表达式可分解为两个线性有理因子的条件是:

abc+2fgh–af公司2–背景2–中国2=0和h2–ab>0

这个表达式称为上述二次表达式的判别式。

双二次方程

没有三次和一次项的四次多项式方程称为双二次方程。

一般形式:z4+a型0z2+c=0

示例:

  • 4+16倍2+6=0
  • 2倍4+14倍2+3=0

如何求解双二次方程?

双二次多项式可以很容易地通过将它们转换成二次方程来求解,即用x代替变量'z'2.

例:求双二次方程x的零点–3倍2+2=0。

解决方案:

给定f(x)=x–3倍2+二

关于x的代入2=z在给定的方程中,

f(x)=z2–3z+2=0

z2–2z–z+2=0

z(z-2)-1(z-2)=0

z=1和z=2

因此,x=±1和x=±2[因为,z=x²]。

求解二次方程的练习题

例1:如果G(x)=px2+qx+r和H(x)=-px2+mx+r和p.r0证明G(x)。H(x)=0将有两个实根。

解决方案:

如果q,G(x)将有实根2–4pr如果m2+4pr公司0

案例1:如果pr<0,

2–4pr因此,G(x)将具有实根。

案例2:如果pr>0,

2+4pr公司因此,H(x)也将具有实根。

因此G(x).H(x)至少有两个根是实的。

例2:求给定二次表达式的值所在的范围(x2+14x+9)/(x)2+2x+3),其中x是实数。

解决方案:

设,y=(x2+14x+9)/(x)2+2倍+3)

i、 e.x2+14x+9=(x2y+2xy+3y)

或者,(1–y)x2+(7–y)2x+3(3–y)=0

因为x是实的,所以,b2–4空调0

i、 e.[2(7–y)]2–4[1–y]×3[3–y]0

或者,-y2–y+400

或者,(y+5)(y-4)0

因此,给定二次表达式的值所在的范围是-5是的4

例3:找到x的值,表达式(x2–4x+3)/(x)2+x+1)0

解决方案:

设f(x)=x2–4x+3和g(x)=x2+x+1。

x的系数2g(x)为正,判别式(D)<0。因此,g(x)对于x的所有值都是正的。

因为f(x)/g(x)<0。因此,f(x)必须小于0。

i、 e.x2–4x+3<0

或者,(x–3)(x–1)<0

因此,1<x<3。

例4:求给定二次方程f(x)=9x的根的“m”值+(m–4)x+m/4满足以下给定条件:

  1. 二次多项式f(x)的两个根都是实的且是不同的。
  2. 二次表达式f(x)有相等的根。
  3. 二次表达式的根不是实的。
  4. 二次方程的根有相反的符号。
  5. 根的大小相等,但符号相反。
  6. 给定的二次方程f(x)的两个根都是正的。
  7. 两个根都是负的。

解决方案:

从给定的二次方程f(x)=9x+(m-4)/x+m/4,

a=9,b=(m-4)和c=m/4

因此,D=b–4ac=(m–4)2–4(9)。(m/4)

=米2+16–8米–9米=米–17米+16米

因此,D=m2–17m+16=(m–1)(m–16)

解决方案1。如果,

D=(b)–4ac)>0

i、 e(m–16)(m–1)>0

注:如果是ax+bx+c>0,D>0和a>0,然后是x(-∞, α) (β, ∞).

因此,如果:

(-∞, (一)(16个,∞).

解决方案2。如果D=0,二次表达式f(x)有相等的根

i、 e(m–16)(m–1)=0

因此,对于m=16或m=1,给定二次方程的根都相等。

解决方案3。如果,D<0,二次方程的根是虚的

i、 e.(m-16)(m-1)<0

注:如果是ax+bx+c>0,D<0和a>0,然后xR

因此,给定方程的根是虚的如果,m(1,16)。

解决方案4。如果,f(0)<0,二次表达式的根将有相反的符号

因为f(0)=m

因此,如果m(−∞,0)。

解决方案5。二次表达式的根在大小上相等但符号相反,如果,

条件1:根之和=0

i、 e.(m–4)/9=0,因此,m=4。(一)

条件2:D=(b)2–4交流)0

i、 东(m-1)(m-16)0

因此,x(=∞, 1][16,∞) . . . . . . . . . . . . . . . . (二)

由式(1)和(2)可知,当根的大小相等时,f(x)中不存在这样的“m”值。

解决方案6。如果,

条件1:根积>0

i、 e.m/(4×9)>0,因此m>0。(三)

条件2:根之和>0

-(m–4)/9>0,因此,m<4。(四)

条件3:D=(b)2–4交流)0

根据方程式(2),

(-∞, 1][16,∞) . . . . . . . . (五)

因此,从方程(3)、(4)和(5)中,如果m,f(x)的根都是正的(0,1]。

解决方案7。如果,

条件1:根>0的乘积

i、 e.m/(4×9)>0,m>0。(六)

条件2:根之和<0

-(m–4)/9<0,m>4。(七)

条件3:D=(b)–4交流)0

使用方程式(2),

(-∞, 1][16,∞) . . . . . . . . (八)

因此,从方程(6)、(7)和(8)中,如果,

[16,∞].

例5:二次方程x2–ax+b=0和x2–px+q=0有一个公共根,第二个方程的根相等,表明b+q=ap/2。

解决方案:

把α和β看作方程(i)的根,把α和β看作是方程(i)的公共根,就可以利用根公式的和和和积来解决这个问题。

给定的二次方程是

2–ax+b=0………。(一)

2–px+q=0……….(ii)

根据方程式(i),α+β=a,α=b

根据方程式(ii),2α=p,α2=q

b+q=αβ+α2=α(α+β)=ap/2

例6:x2+ax+bc=0和x2+bx+ca=0有一个非零公共根和一个b。证明其他根是二次方程x的根2+cx+ab=0,c0

解决方案:

将α作为二次方程的公共根,β、γ分别作为二次方程的其他根,然后利用根公式的和与积来证明这一点。

此外,α+β=-a和αβ=bc;

α+γ=-b,αγ=ca

2α+β+γ=-(a+b)和α2βγ=abc2 . . . . . . (一)

因此,β+γ=c–2c=-c。(二)

还有,c2βγ=c2文学士

因此,βγ=ab…。(三)

根据方程式(ii)和(iii),

β和γ是二次方程x的根2+cx+ab=0。

例7:表达式x2–11x+a=0和x2–14x+2a=0必须有一个公因子和一个0,求公因子和公根。

解决方案:

如果(x–α)是给定二次方程的公因子,则x=α成为相应方程的根。

因此,α2–11α+a=0和α2–14α+2a=0

减去上面的方程式,

3α–a=0α=a/3

因此,一个2/9–11a/3+a=0,

在求解上述二次方程时,我们得到a=0或24

自从因此,a=24。

例8:确定m的值,其中二次方程3x2+4mx+2=0和2x2+3x–2=0可能有一个公共根。

解决方案:

假设α是给定方程的公共根。

那么,3α2+和α2+4m2+3α–2=0

使用交叉乘法法,我们有

(-6-4)2=(9–8米)(-8米–6)

50=(8米-9米)(4米+3米)

或者,32米2–12米–77=0

或者,(8m+11)(4m-7)=0

因此,给定的二次方程具有公共根的m值=-11/8和7/4。

例9:如果由y构成二次方程,则求c、a和m之间的关系2=4ax和y=mx+c的根相等。

解决方案:

(mx+c)2=4轴22+2(厘米–2a)x+c2=0

因为,这个二次方程的根是相等的。因此,D=04(cm-2a)2–4百万2c2=0

4a级2–4cma=0或a2=acm公司

a=cm或c=a/m。

这是直线y=mx+c与曲线y相切的条件2=4轴。

5二次方程(1+2)x的值是多少2–2(1+3m)x+(1+8m)=0的根相等?

解决方案:

如果判别式(D)=4(1+3m),则根相等2–4(1+m)(1+8m)=0

2–3米=0m=0,3。

同时练习:-

上一年关于二次方程的问题

二次函数视频

图的性质

二次函数图的性质

二次函数的范围

二次函数的范围


二次方程常见问题解答

解二次方程有哪些不同的方法?

求解二次方程有时会相当困难。然而,根据需要求解的二次型的类型,有几种不同的方法可以使用。求解二次方程的方法主要有四种。它们是因式分解,使用平方根,完成平方和使用二次公式。

二次方程的标准形式是什么?

形斧2+bx+c=0被认为是二次方程的标准形式。

二次方程的因式分解有哪些步骤?

用因式分解法求解二次方程可以遵循以下步骤。

  • 首先,你必须把所有的项移到等号的一边。你会在另一边留下零。
    因素。
  • 现在必须将每个因子设置为0。
  • 每一个方程都必须求解。
  • 用原来的方程式来检查答案。

二次方程和二次表达式的区别是什么?

所谓二次方程是任何2次多项式方程或ax形式的方程2+bx+c=0。另一方面,二次公式是用来求解二次方程的公式。该公式用于确定方程的根/解。

二次方程的用途是什么?

有趣的是,二次方程在我们的日常生活中被使用。它可以用来计算面积或房间,确定一个产品的商业利润或找到一个物体的速度。它也用于体育运动。

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