经济代写_经济学论文代写_金融论文范文

二项式定理-公式、展开式和问题

二项式定理–随着功率的增加,扩展将变得冗长乏味。借助二项式定理,可以很容易地计算出被提升到非常大的幂次的二项式表达式。了解有关二项式定理的所有细节,如它的定义、性质、应用等,并从下面下载二项式定理PDF课程。

二项式定理指南

将本课程下载为PDF:-二项式定理

JEE Main 2021数学实时论文解决方案2月24日1班,基于内存

二项式定理简介

二项式定理是一种将表达式展开为任意有限次方的方法。二项式定理是一个强有力的展开工具,它在代数,概率等。

二项式表达式:二项式表达式是包含两个不同项的代数表达式。例:a+b,a+b等等。

二项式定理:让nN、 x,y,R然后呢

(x+y)nnΣr=0北卡罗来纳州r北-右·是的r哪里,

二项式定理

插图1: 展开(x/3+2/y)4

索尔:

二项式定理例题1

插图2:(2+1)5+ (2(一)5

索尔:

我们有

(x+y)5+(x–y)5=2[5摄氏度05+5摄氏度2是的2+5摄氏度4xy公司4]

=2(x5+10倍是的2+5倍4)

现在(2+1)5+ (2(一)5=2个[((二)5+10个((二)(一)2+5(2) (一)4]

=582

二项式展开

要记住的要点

  • (x+y)展开式中的项总数n是(n+1)
  • x和y的指数之和总是n。
  • 北卡罗来纳州0,北卡罗来纳州1,北卡罗来纳州2,…,北卡罗来纳州n称为二项式系数,也可用C表示0,C1,C2,…,Cn
  • 从起点到终点等距的二项式系数相等,即nC0=常闭n,北卡罗来纳州1=常闭n-1号,北卡罗来纳州2=常闭n-2个 ,….. 等。

为了找到二项式系数,我们还可以使用帕斯卡三角.

帕斯卡三角

用帕斯卡三角形求二项式系数

其他一些有用的扩展:

  • (x+y)n+(十)是的)n=2[摄氏度0n+C2n-1号是的2+C4n-4个是的4+ …]
  • (x+y)n–(x)是的)n=2[摄氏度1n-1号y+C公司n-3个是的+C5n-5个是的5+ …]
  • (1+x)n=nΣr-0型北卡罗来纳州r. r=[C0+C1x+C公司22+…Cnn]
  • (1+x)n+(一)十)n=2[摄氏度0+C22+C44+ …]
  • (1+x)n(一)十)n=2[摄氏度1x+C公司+C55+ …]
  • (x+a)展开式中的项数n+(十)(一)n如果“n”是偶数,则为(n+2)/2;如果“n”是奇数,则为(n+1)/2。
  • (x+a)展开式中的项数n(十)(一)n如果“n”是偶数,则为(n/2);如果“n”是奇数,则为(n+1)/2。

项数与R-F因子关系

项数与R-F因子关系

二项式系数的性质

二项式系数是指二项式定理中系数的整数。二项式系数的一些最重要的特性是:

  • C0+C1+C2+…+Cn=2个n
  • C0+C2+C4+…=C1+C+C5+…=2n-1号
  • C0–C1+C2–C+ … +((一)n. 北卡罗来纳州n=0
  • 北卡罗来纳州1+2.不合格2+3.不适用+…+n.nCn=n.2n-1号
  • C12摄氏度2+3摄氏度4摄氏度4+ … +((一)n-1号Cn对于n>1
  • C02+C12+C22+…Cn2=[(2n)!/(n!)2]

插图:如果(1+x)15=a0+a1x+。+a型1515然后,找出

索尔:

二项式定理说明

=C1/C0+2摄氏度2/C1+3摄氏度/C2+ . . . . + 15摄氏度15/C14

=15+14+13+1=[15(15+1)]/2=120

二项式系数的性质

二项展开式中的项

在二项展开法中,经常要求求出中间项或一般项。这里涉及的二项式展开中的不同术语包括:

  • 一般条款
  • 中期
  • 独立术语
  • 确定特定术语
  • 数值最大项
  • 连续项/系数比率

二项式展开中的一般术语:

我们有(x+y)n=常闭0n+北卡罗来纳州1n-1号. y+nC2n-2个. 是的2+…+nCn是的n

一般术语=Tr+1=常闭rn-r公司. 是的r

  • 一般术语in(1+x)n是nCrr
  • 在(x+y)的二项式展开中n,r从末尾开始的项是(n–r+2) .

插图:求(1+2x+x)中的项数2)50

索尔:

(1+2x+x2)50=[(1+x)2]50=(1+x)100

项数=(100+1)=101

插图:在展开式(2x–1/x)中找到从末尾开始的第四项2)10

索尔:

要求项=T10–4+2=吨8=10摄氏度7(2倍)(1/x2)7= 960倍-十一

(x+y)展开中的中期n。n

  • 如果n是偶数,那么(n/2+1)项是中间项。
  • 如果n是奇数,则[(n+1)/2]和[(n+3)/2)术语是中间术语。

插图:求(1)的中间项3倍+3倍2–x)2号

索尔:

(一)3倍+3倍2–x)2号=[(1)十)]2号=(1)十)6牛顿

中期=[(6n/2)+1]项=6nC3号(十)3号

确定特定术语:

  • 在(ax)的扩展中p+x/b号)nx的系数是T的系数r+1式中r=[(npm) /(p+q)]
  • 在(x+a)的展开中n,吨r+1/Tr=(n–r+1)/r。a/x公司

二项展开式的一般项和中间项

独立术语

在[ax]展开式中独立于的术语p+(b/x))]n

Tr+1=nCrn-r公司br,式中r=(np/p+q)(整数)

插图:在(x+1/x)中求x的独立项6

索尔:

r=[6(1)/1+1]=3

独立项是6C=20个

插图:在展开式中找到独立项:

二项式定理的例题

索尔:

(十)1/3页+1–1–1号/十)10=(x)1/3页–1个/十)10

r=[10(1/3)]/[1/3+1/2]=4

T5=10C4=210

(1+x)展开中的数值最大项n:

  • 如果[(n+1)| x |]/[|x |+1]=P,则P为正整数学期和(P+1)项是(1+x)展开式中最大的项n
  • 如果[(n+1)| x |]/[|x |+1]=P+F,其中P是正整数,0<F<1,则(P+1)项是(1+x)展开式中的最大项n.

插图:求(1-3x)中数值最大的项10当x=(1/2)时

索尔:

[(n+1)|α|]/[|α|+1]=(11×3/2)/(3/2+1)=33/5=6.6

因此,T7是数字上最大的项。

T6+1=10摄氏度6. (3倍)6=10摄氏度6. (3/2)6

连续项/系数比率:

x的系数r和xr+1是nCr–1号和nCr分别。

(北卡罗来纳州)r/北卡罗来纳州r–1号)=(n–r+1)/r

插图:如果(1+x)展开式中三个连续项的系数n以1:7:42的比例计算,然后求n的值。

索尔:

让(r-1),(右)和(r+1)连续三届。

那么,给定的比率是1:7:42

现在(北卡罗来纳州)r-2型/北卡罗来纳州r–1号)=(1/7)

(北卡罗来纳州)r-2型/北卡罗来纳州右侧-1)=(1/7)[(r-1)/(n)r+2)]=(1/7)n8r+9=0(一)

而且,

(北卡罗来纳州)r-1型/北卡罗来纳州r)=(7/42)[(r)/(n–r+1)]=(1/6)n7r+1=0(二)

从(1)和(2),n=55

二项式定理的应用

二项式定理在数学中有广泛的应用,如求余数、求数的位数等。最常见的二项式定理应用有:

用二项式定理求余数

插图:当7时求余数103除以25

索尔:

(七)103/25)=[7(49)51/25)]=[7(50(一)51/25]

=[7(25K)1) /25]=[(175K–25+25)7) /25]

=[(25(7千)1) +18)/25]

余数=18。

插图:如果数字的小数部分(2403/15)是(K/15),然后求K。

索尔:

(二)403/15)=[2(二)4)100/15]

=8/15(15+1)100=8/15(15λ+1)=8λ+8/15

8λ为整数,小数部分=8/15

所以,K=8。

求数的位数

插图:找到数字的最后两位数字(13)10

索尔:

(十三)10=(169)5=(170)(一)5

=5摄氏度0(170个)55摄氏度1(170个)4+5摄氏度2(170个)5摄氏度(170个)2+5摄氏度4(170个)5摄氏度5

=5摄氏度0(170个)55摄氏度1(170个)4+5摄氏度2(170个)5摄氏度(170个)2+5(170)1

100+5(170)–1=100K+849的倍数

最后两位数字是49。

两个数之间的关系

插图:找出99中较大的那个50+10050和10150

索尔:

10150=(100+1)50=10050+50美元。10049+25。49岁。10048+ …

9950=(100)(一)50=10050–50岁。10049+25。49岁。10048− ….

10150–99年50=2[50.10049+25(49)(16)10047+ …]

=10050+50美元。49岁。16。10047+…大于10050

10150–99年50>10050

10150>10050+99个50

可除性检验

插图:显示119+九11可被10整除。

索尔:

119+九11=(10+1)9+(十)(一)11

=(9摄氏度0. 109+9摄氏度1. 108+…9摄氏度9)+(11摄氏度0. 101111摄氏度1. 1010+ … 11摄氏度11)

=9摄氏度0. 109+9摄氏度1. 108+…+9摄氏度8. 10+1+101111摄氏度1. 1010+…+11摄氏度10. 101

=10[9摄氏度0. 108+9摄氏度1. 107+…+9摄氏度8+11摄氏度0. 101011摄氏度1. 109+…+11摄氏度10]

=10K,可被10整除。

公式:

  • (x)展开式中的项数1+十2+…xr)n是(n+r1) Cr–1号
  • (ax+by)系数之和n是(a+b)n

如果f(x)=(a0+a1x+a公司22+ …. + )n然后

  • (a) 系数之和=f(1)
  • (b) x的偶次幂系数之和为:[f(1)+f(1) ]/2年
  • (c) x的奇次幂系数之和为[f(1)f(1) ]/2年

任意指数的二项式定理

让n成为有理数x是一个实数,那么| x |<1

任意指数的二项式定理

证明:

设f(x)=(1+x)n=a0+a1x+a公司22+…+arr+…(1)

f(0)=(1+0)n=1

区分(1)两侧的w.r.t.x,我们得到

n(1+x)n–1个

=a1+2a2x+3a+4a级4+…+无线电rr–1号+…(2)

设x=0,得到n=a1

区分(2)两侧的w.r.t.x,我们得到

n(n)1) x(1+1)n–2个

=2安2+6安x+12安42+…+r(r)1) arr–2号+…(3)

把x=0,我们得到一个2=[n(n)1) ]/2!

区分(3),两边的w.r.t.x,我们得到

n(n)1) (n)2) (1+x)n–3个=6安+24安4x+…+r(r)1) (r)2) arr–3号+ …

把x=0,我们得到一个=[n(n)1) (n)2) ]/3!

同样,我们得到一个4=[n(n)1) (n)2) (n)3) ]/r!等等

r=[n(n)1) (n)2) …(n)r+1)]/r!

把a的值0,一个1,一个2,一个,…,ar在(1)中得到,我们得到

(1+x)n=1+nx+[{n(n)1) }/2!]x2+[{n(n)1) (n)2) }/2!]x+…+[{n(n)1) (n)2) …(n–r+1)}/r!]xr+ …

有理指数的二项式定理

(a)表达式中有理项的个数1/升+b1/千)n是{l,k}]的[n/LCM,当and不是因子,并且至少有一个是因子时是[n/LCM of{l,k}]+1,其中[.]是最大整数函数。

插图:找出无理项的个数(8五+6(二)100.

索尔:

Tr+1=100摄氏度r(8(五)100–r. (6(二)r=100摄氏度r. 5[(100–r)/8]2r/6型.

r=12,36,60,84

有理项数=4

无理项数=101–4=97

负指数的二项式定理

1如果有理数和-1<x<1,那么,

  • (一)十)-1=1+x+x2+十+…+xr+ …
  • (1+x)-1=1–x+x2–x+ … ((一)rr+ …
  • (一)十)-二=1+2x+3x24倍+…+(r+1)xr+ …
  • (1+x)-二=12倍+3倍24倍+ … + ((一)r(r+1)xr+ …

2(1+x)中的项数n

  • 当为正整数时为'n+1。
  • 非正整数&| x |<1时为无限

3(1+x)中的第一个负项采购订单当0<x<1时,p,q是正整数,p不是q的倍数是T【p/q】+三

多项式定理

利用二项式定理,我们得到

(x+a)n

=nr=0北卡罗来纳州r北-右r,nN

=nr=0[n!/(n)r) !r!]x北-右r

=nr+s=n[n!/r!s!]xsr,其中s=n-r。

此结果可概括为以下形式:

(十)1+十2+…+xk)n

= r1+r2+…+rk=n[n!/r1!r2!…rk!]x1r12r2级…xkrk公司

上述扩展中的一般术语是

[(n!)/(右)1! r2! r! … rk!)] 1r12r2级第3页…xkrk公司

上述展开式中的项数等于方程的非负积分解的个数。

r1+r2+…+rk=n,因为该方程的每个解在上述展开式中给出了一个项。此类解决方案的数量为n+k–1Ck1

特殊情况

案例1:

 多项式定理案例1

上述扩展已经n+3-1号C3-1个=n+2个C2条款。

案例2:

多项式定理案例2

n+4–1C4–1个=n+3个C上述扩展中的术语。

备注:(x)展开的最大系数1+十2+…+x)n是[(n!)/(q!)m–r公司{(q+1)!}r],其中q和r分别是n除以m时的商和余数。

多项式展开

考虑(x+y+z)的展开10. 在展开式中,每个项都有x,y,z的不同幂次,这些幂之和总是10。

λx的项是12是的z5. 现在,这个项的系数等于2x,3y,5z的排列方式,即10!(2!3!5!)。因此,

(x+y+z)10= (10!)/(P1!P2!P3!)x第一页是的第2页zP3页

式中P1+P2+P3=10和0P1、P2、P310

一般来说,

(十)1+十2+…xr)n= (n!)/(P1!P2!…Pr!)x第一页第2页…x公共关系

式中P1+P2+P3+…+Pr=n和0P1,P2,…压力n

扩展中的项数(十)1+十2+…+xr)n

从上述展开式的一般项,我们可以得出结论,项的数目等于不同的权力可以分配给x的方式的数目1,x2,x…..,xn使幂和总是“n”。

x的非负积分解的个数1+十2+…+xr=n是n+r–1号Cr–1号.

例如,(x+y+z)展开式中的项数3+3-1C3–1个5C2=10

在扩展中,我们有如下条款

作为x0是的0z0,x0是的1z2,x0是的2z1,x0是的z0,x1是的0z2,x1是的1z1,x1是的2z0,x2是的0z1,x2是的1z0,x是的0z0.

(x+y+z)中的项数nn+3–1C3–1个=n+2个C2.

(x+y+z+w)中的项数nn+4–1C4–1个=n+3个C等等。

二项式定理视频课

关于二项式定理的几个问题

问题1:如果第三项在二项式展开式中等于2560,求x。

解决方案:

(日志2)2=4个

日志2=2或-2

x=4或1/4。

问题2:求λ的正值,其中x的系数在表达式x中2[+(λ/x2)]10是720。

解决方案:

2[10Cr. (十)10-r型. (λ/x2)r]=x2[10Cr. λr. (10-r)/2. -2r公司]

=x2[10Cr. λr. (10-5r)/2]

因此,r=2

因此,10C2. λ2=720

λ2=16

λ=±4。

问题3:x的二项展开式中的中间项的实值之和/3+3/x)8等于5670是?

解决方案:

T5=8C4×(x)12/81)×(81/x)4)=5670

70倍8=5670

x=±三。

问题4:让(x+10)50+(x–10)50=a0+a1x+a公司22+ . . . . . + 5050对于所有xR、 然后是2/a0等于?

解决方案:

(x+10)50+(x–10)50:

2×2个50C2×10个48

0=2×1050

2/a0=50C2/10个2=12.25。

问题5:求x的系数9在(1+x)(1+x)的展开中2)(1+x)) . . . . . . (1+x)100).

解决方案:

9可以用8种方式形成。

i、 东、西91+8个2+73+6个4+5个,x1+3+5,x2+3+4

x的系数=1+1+1+…..+8次=8。

问题6:(1+x)的三个连续项的系数n+5个以5:10:14的比例,求n。

解决方案:

让Tr-1型,吨r,吨r+1是(1+x)的三个连续项n+5个

Tr-1型=(n+5)Cr-2型. r-2型

Tr=(n+5)Cr-1型. r-1型

Tr+1=(n+5)Cr. r

鉴于

(n+5)Cr-2型:(n+5)Cr-1型:(n+5)Cr=5:10:14

因此,[(n+5)Cr-2型]/5=[(n+5)摄氏度r-1型]/10=(n+5)摄氏度r/14

比较前两个结果,我们得到n–3r=-9。(一)

比较最后两个结果,我们得到5n–12r=-30。(二)

根据式(1)和(2),n=6。

问题7:数字183+183.

解决方案:

183个=(3)4)45.3

单位数字=7和183!以0结尾

单位数字183!+183个是7。

问题8:求展开式中的词条总数(x+a)100+(x–a)100.

解决方案:

(x+a)100+(x–a)100=2个[100C0100100C98 . 2+ . . . . . . + 100C100100]

总条款=51。

问题9:求t的系数4[t-1膨胀6)/(1–t)].

解决方案:

[(1-t)6)/(1–t)=(1-t)18–3吨6+3吨12)(1-t)-三

t系数in(1–t)-三=3+4–1

C4 =6C2=15

x的系数r(1–x)-n=(r+n-1)Cr

问题10:求5的比值从开始到第五学期在[2]的二项展开式中从末尾开始的项1/3页+1/{2.(3)1/3页}]10.

解决方案:

二项式定理问题

问题11:求b2c4d在(a-b-c+d)的扩展中10.

解决方案:

展开(a–b–c+d)10利用多项式定理,利用系数性质,可以得到所需的结果。

利用多项式定理,我们得到

我们要得到a的系数b2c4这意味着r1=3,r2=2,r=4,右4=1,

a的系数b2c4d是[(10)!/(3!.2!.4)](-1)2(-1)-四=12600。

问题12:求(1+x+x)展开式中的系数+十)11.

解决方案:

用展开式展开给定方程,得到系数x4

i、 e.1+x+x+十=(1+x)+x(1+x)=(1+x)(1+x)2)

(1+x+x+十)十十一=(1+x)十一(1+x)2)11

=1+11C1+11C+11C+11C. . . . . . .

=1+11C1+11C+ . . . . . .

要从右侧两个括号的乘积中查找术语,请将以下产品术语视为

=1×11C+11C2×11C1+11C4

=11C11C× 11C111C]十4

[55+605+330]x4=990倍4

x的系数4是990。

问题13:在展开式中找出从根式符号中自由项的数目(五+4n)100.

解决方案:

Tr+1=100Cr. 5(100–r)/2nr/4型

式中r=0,1,2,100

r必须是0,4,8,…100

有理项数=26

问题14:求多项式的次数[x+{(三)(3-1))}1/2页]5+[x+{(三)(3-1))}1/2页]5.

解决方案:

[x+{(三)(3-1)) }1/2页]5:

=2个[5C05+5C25(十)–1)+5C4. x。(十)–1)2]

因此,最高功率=7。

问题15:找出27的最后三位数26.

解决方案:

通过减少2726进入表格(730–1)n使用简单的二项式展开,我们将得到所需的位数。

我们有27729=729

现在27岁了26=(729)13=(730–1)13

=13C0(730)13– 13C1(730)1213C(730)11– . . . . . – 13C10个(730)13C11(730)2– 13C十二(730)+1

=1000米+[(13×12)]/2]×(14)2–(13)×(730)+1

其中“m”是正整数

=1000m+15288-9490=1000m+5799

因此,17的最后三位数字256是799。

具有G.P.或A.P.的二项式系数。

测试你的二项式定理知识

在线客服

售前咨询
售后咨询
微信号
Essay_Cheery
微信
友情链接: 英国代写 assignment代写